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概率与统计_图

发布时间:2019-07-07 03:14 来源:未知 编辑:admin

  概率与统计_理学_高等教育_教育专区。要点回扣 第三篇 7 7.概率与统计 1.随机抽样方法 本 讲 栏 目 开 关 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程 中每个个体被抽取的机会相等,且是不放回抽样. [问题 1]

  要点回扣 第三篇 7 7.概率与统计 1.随机抽样方法 本 讲 栏 目 开 关 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程 中每个个体被抽取的机会相等,且是不放回抽样. [问题 1] 某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他为高收入家庭.在建设幸福 社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户, 则该社区本次抽取的总户数为________ 24 . 6 480-200-160 解析 由抽样比例可知 = ,则 x=24. x 480 要点回扣 第三篇 7 2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图表, 本 讲 栏 目 开 关 从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图,应注意 的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频 率.茎叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大或有多 组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了. 要点回扣 第三篇 7 [问题 2] 从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生 的高校招生体检表中视力情况进行统计, 其结果的频率分布直 方图如图所示.若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则 20 . 该班学生中能报 A 专业的人数为________ 本 讲 栏 目 开 关 要点回扣 第三篇 7 3.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据 的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. 本 讲 栏 目 开 关 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置 的一个数据(或最中间两个数据的平均数 )叫做这组数据的 中位数. 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与 横轴交点的横坐标. 1 平均数: 样本数据的算术平均数, 即 x =n(x1+x2+?+xn). 要点回扣 第三篇 7 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形 底边中点的横坐标之和. 本 标准差的平方就是方差,方差的计算 1 讲 2 2 2 2 栏 (1)基本公式 s =n[(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ]. 目 1 2 开 2 2 2 2 2 (2) 简化计算公式① s = [( x + x +?+ x ) - n x ] ,或写成 s 2 n 关 n 1 1 2 2 2 =n(x1+x2+?+xn )- x 2,即方差等于原数据平方和的平均数 减去平均数的平方. 要点回扣 第三篇 7 [问题 3] 已知一个样本中的数据为 0.12,0.15,0.13,0.15,0.14, 本 0.17,0.15,0.16,0.13,0.14 , 则 该 样 本 的 众 数 、 中 位 数 分 别 是 讲 栏 ____________ 0.15、0.145 . 目 开 关 要点回扣 第三篇 7 4.互斥事件有一个发生的概率 P(A+B)=P(A)+P(B) (1)公式适合范围:事件 A 与 B 互斥. 本 讲 栏 目 开 关 (2)P( A )=1-P(A). [问题 4] 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出 1 1 现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= , 2 6 2 求出现奇数点或 2 点的概率之和为________ . 3 要点回扣 第三篇 7 5.古典概型 m P(A)= n (其中,n 为一次试验中可能出现的结果总数,m 本 讲 栏 目 开 关 为事件 A 在试验中包含的基本事件个数) [问题 5] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次, 则出现 1 12 . 向上的点数之和为 4 的概率为________ 要点回扣 第三篇 7 6.几何概型 一般地,在几何区域 D 内随机地取一点,记事件“该点在 本 讲 栏 目 开 关 其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率为 d的度量 P(A)= .此处 D 的度量不为 0,其中“度量”的意 D的度量 义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时, 相应的度量分别为长度、面积和体积等. 构成事件A的区域长度?面积和体积? 即 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积和体积? 要点回扣 第三篇 7 [问题 6] 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O 为 底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机取一 点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 π π A. B.1- 12 12 π π C. D.1- 6 6 解析 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为 A, 1 4 2 -2×3π×13 π P(A)= =1-12. 23 3 ( B ) 本 讲 栏 目 开 关 要点回扣 第三篇 7 7.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序 排列,无序组合. 解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问 本 讲 栏 目 开 关 题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题 倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先 选后排法;至多至少问题间接法. (1)排列数公式 Am n = n(n - 1)(n - 2)?[n - (m - 1)] = n! ,其中 m , ?n-m?! n∈N*,m≤n.当 m=n 时,An (n-1)· ??· 2· 1=n! ,规 n=n· 定 0!=1. 要点回扣 第三篇 7 (2)组合数公式 m n?n-1??n-2??[n-?m-1?] n! A n m Cn = m= = . Am m! m!?n-m?! 本 讲 栏 目 开 关 (3)组合数性质 n m m m 1 m 0 * Cm = C , C + C = C ,规定 C = 1 ,其中 m , n ∈ N , + n n n n n 1 n - - m≤ n . [问题 7] 种. (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少 要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有________ 70 种. (1)将 5 封信投入 3 个邮筒, 不同的投法共有________ 35 要点回扣 8. 二项式定理 第三篇 7 n 1 n-1 r n- r r (1)定理: (a+ b)n= C0 a + C a b +?+ C b +?+ n n na n-1 n * Cn abn-1+Cn b ( n ∈ N ). n 本 讲 栏 目 开 关 n r r r 通项(展开式的第 r+1 项):Tr+1=Cr a b ,其中 C n n(r= - 0,1,?,n)叫做二项式系数. (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二 项式系数相等,即 n 1 n 1 2 n 2 r n r C0 n=Cn,Cn=Cn ,Cn=Cn ,?,Cn=Cn . - - - ②二项式系数的和等于 2n(组合数公式),即 1 2 n n C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 . 要点回扣 第三篇 7 ③二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项 3 5 0 2 4 n-1 式系数和,即 C1 + C + C +?= C + C + C +?= 2 . n n n n n n 特别提醒: 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同 的概念, 在求法上也有很大的差别, 往往因为概念不清导致出 本 错. 讲 栏 目 [问题 8] 开 关 ? 设? ?x- ? 2? ?6 3 的展开式中 x 的系数为 A,二项式系数 x? ? 3 6? r 2? 3 ?r r r r 2 x = C ( - 1) 2 , 6 - r=3, 6 ? 2 x? 为 B,则 A∶B=________. 4∶1 ? r 6-r r? Tr+1=C6x (-1) ? ? 解析 r=2, 系数 A=60,二项式系数 B=C2 6=15,所以 A∶B=4∶1. 要点回扣 第三篇 7 9. 要注意概率 P(AB)与 P(AB)的区别: (1)在 P(AB)中,事件 A,B 发生有时间上的差异,B 先 A 后;在 P(AB)中,事件 A,B 同时发生. 本 讲 栏 目 开 关 (2)样本空间不同,在 P(AB)中,事件 B 成为样本空间; 在 P(AB)中,样本空间仍为 Ω,因而有 P(AB)≥P(AB). [问题 9] 设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生 3 的概率为 ,在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概 10 3 1 率为 ,则事件 A 发生的概率为________ . 5 2 要点回扣 第三篇 7 10.求分布列,要检验概率的和是否为 1,如果不是,要重新检 查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布,然后用公 式. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独 本 讲 栏 目 开 关 k n k 立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)= Ck . np (1- p) - [问题 10] ________. ξ P 若随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ)的值为 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x 要点回扣 第三篇 7 1 解析 根据概率之和为 1,求出 x= , 18 本 讲 栏 目 开 关 20 则 E(ξ)=0×2x+1×3x+?+5x=40x= 9 . 20 答案 9 易错警示 第三篇 7 易错点 1 统计图表识图不准致误 例 1 如图所示是某公司(共有员工 300 人)2012 年员工年薪情 本 讲 栏 目 开 关 况的概率分布直方图,由此可知,员工中年薪在 1.4 万元~ 1.6 万元之间的大约有________人. 易错警示 第三篇 7 错解 由频率分布直方图,员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元 之间的频率为 1-(0.02+0.08+0.10+0.10+0.08)=0.62. ∴ 估 计 年 薪 在 1.4 万 元 ~ 1.6 万 元 之 间 约 有 300×0.62 = 本 讲 栏 目 开 关 186(人). 找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意 频率 义,频率分布直方图中,纵轴 (矩形高)表示“ ”,每个小 组距 矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由于概念不清,识图 不准导致计算错误. 易错警示 第三篇 7 正解 由所给图形可知,员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之 间的频率为 1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24. 本 讲 栏 目 开 关 所以员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的共有 300×0.24= 72(人). 答案 72 易错警示 第三篇 7 易错点 2 在几何概型中“测度”确定不准致误 例 2 如图所示,在等腰 Rt△ABC 中,过直 角顶点 C 在∠ACB 内部任意作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AMAC 的 本 讲 栏 目 开 关 概率. 错解 记 AMAC 为事件 E,设 CA=CB=a,因为△ABC 是 直角三角形, 所以,AB= 2a,在 AB 上取一点 D,使 AD=AC=a,那么 对线段 AD 上的任意一点 M 都有 AMAD,即 AMAC, AD a 2 因此 AMAC 的概率为 P(E)= AB = = . 2a 2 易错警示 第三篇 7 找准失分点 据题意,过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射 线 CM,射线 CM 在∠ACB 内部均匀分布,但是点 M 在 AB 上的分布不是均匀的. 本 讲 栏 目 开 关 正解 在 AB 上取一点 D,使 AD=AC, π 因为 AD=AC=a,∠A=4, 3π 所以∠ACD=∠ADC= , 8 3π ∠ACD 8 3 则 P(E)= = = . ∠ACB π 4 2 易错警示 第三篇 7 易错点 3 分不清是排列还是组合致误 例 3 如图所示,A,B,C,D 是海上的四个小岛, 要建三座桥, 将这四个岛连接起来, 不同的建桥 本 讲 栏 目 开 关 方案共有多少种? 4 错解 对于有一个中心的结构形式有 A4 , 4 对于四个岛依次相连的形式有 A4 , 4 ∴共有 2A4 =48(种). 找准失分点 没有分清是排列还是组合. 易错警示 第三篇 7 正解 由题意可能有两种结构,如图: 本 讲 栏 目 开 关 第一种: ,第二种: 对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位置的情况,共有 C1 4种方法. 2 对于第二种结构,有 C2 A 4 2种方法. 2 2 ∴总共有 C1 + C 4 4A2=16(种). 易错警示 第三篇 7 易错点 4 均匀分组与非均匀分组混淆致误 例4 4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的 4 个盒中,则 144 种.(用数字作答) 恰有 1 个空盒的放法共有________ 错解 288 本 讲 栏 目 开 关 1 1 3 找准失分点 没有考虑均匀分组:C2 A4=288. 4C2C1· 正解 把 4 个球分成 3 组,每组至少 1 个, 1 1 C2 C 4 2 C1 即分的小球个数分别为 2,1,1 的 3 组,有 2 种. A2 3 最后将三组球放入 4 个盒中的 3 个,有分配方法数 A4 种, 1 1 C2 C 4 2 C1 3 因此,放法共有 2 ×A4=144(种). A2 查缺补漏 第三篇 7 1 . (2012· 山东)在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 本 讲 栏 目 开 关 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本 数据每个都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字 特征对应相同的是 A.众数 B.平均数 C.中位数 ( D ) D.标准差 解析 根据众数、中位数、平均数、标准差的概念求解. 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差 和标准差,众数、中位数、平均数都发生改变. 查缺补漏 第三篇 7 2.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) [23.5,27.5) 本 讲 栏 目 开 关 2 18 7 [15.5,19.5) [27.5,31.5) [39.5,43.5) 4 11 3 [19.5,23.5) [31.5,35.5) 9 12 [35.5,39.5) 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 ( B ) 解析 由条件可知,落在[31.5,43.5)的数据有 12+7+3=22(个), 22 1 故所求概率约为66=3. 查缺补漏 第三篇 7 3.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上任意 一点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 本 讲 栏 目 开 关 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( C ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 解析 这是一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ABE 内 1 AB· AD S△ABE 2· 1 部的概率为 = = .故选 C. AB · AD 2 S矩形ABCD 查缺补漏 第三篇 7 1 ? ? ? x+ ?24 4.在? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有 x? ? ( C ) 本 讲 栏 目 开 关 A.3 项 解析 ? Cr 24 x B. 4 项 1 2 24 ? r C.5 项 D.6 项 Tr+1=Cr 24 ( x ) 12 ? 5r 6 (x ) ? 1 3 r (0≤r≤24) ∴r 可取值为 0,6,12,18,24,∴符合要求的项共有 5 项. 查缺补漏 第三篇 7 5.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上,则同一 科目的书都不相邻的概率是 1 2 3 A. B. C. 5 5 5 ( 4 D. 5 ) 本 讲 栏 目 开 关 2 解析 第一步先排语文书有 A2 =2(种)排法. 第二步排物理书, 分成两类. 一类是物理书放在语文书之间, 有 1 种排法,这时数学书可从 4 个空中选两个进行排列,有 2 A4 =12(种)排法; 一类是物理书不放在语文书之间有 2 种排法,再选一本数学 书放在语文书之间有 2 种排法,另一本有 3 种排法. 查缺补漏 第三篇 7 因此同一科目的书都不相邻共有 2×(12+2×2×3)=48(种)排 5 法,而 5 本书全排列共有 A5 =120(种), 本 讲 栏 目 开 关 48 2 所以同一科目的书都不相邻的概率是120=5. 答案 B 查缺补漏 第三篇 7 6.在一盒子里盛有若干个均匀的红球和白球,从中任取一个 1 球,取到红球的概率为 ;若从中任取两个球,取到的全是 3 1 红球的概率为 .则盒子里一共有红球和白球 ( D ) 11 本 讲 栏 目 开 关 A.6 个 B. 9 个 C.24 个 D.12 个 解析 设盒子里有红球 x 个,有白球 y 个. 1 x 1 从中任取一个球,取到红球的概率为3,有 =3,得 y=2x, x+y 则盒子里共有 3x 个球. C2 1 x 若从中任取两个球,取到的全是红球的概率为C2 =11, 3x 解得 x=4. ∴盒子里一共有红球和白球为 12 个. 查缺补漏 7.如图,天花板挂着三串小玻璃球,第一串 挂着 2 个小球,第二串挂着 3 个小球,第 三串挂着 4 个小球.射击规则为下面小球 被击中后方可射击上面的小球,若球 A 本 讲 栏 目 开 关 第三篇 7 恰好在第五次射击中被击中,B 球恰好在第六次射击中被 击中,则这 9 个小球全部被击中的情形有(假设每次都击 中)________种. 解析 先分析球 A 被第五次击中,球 B 被第六次击中的含义. 根据题意应该是前面四次射击击中了第一串中的一个小球, 第二、三串中 A,B 下方的三个小球,并且在第三串球 A 的下 方的两个小球, 查缺补漏 第三篇 7 应该是有先后顺序的,只能是从下向上顺序射击,所以四个小 1 4 球的射击方法有 A4种方法. 2 本 讲 栏 目 开 关 3 然后,射击完 A,B 后每串上各有一个小球,共有 A3 种射击方 案, 1 4 3 所以总共有 A4A3=72(种)不同的情形. 2 答案 72 查缺补漏 第三篇 7 3 8.已知某人投篮的命中率为 ,则此人投篮 4 次,至少命中 3 4 189 次的概率是________ 256 . 本 讲 栏 目 开 关 解析 该人投篮 4 次,命中 3 次的概率为 3 27 3 3 3 P1=C4? ? ?1- ?= ; ?4? ? ? ? ? ? 4? 64 该人投篮 4 次,命中 4 次的概率为 4 3 4 P2=C4? ? = ? ? ?4? 81 256, 27 81 189 故至少命中 3 次的概率是 P=64+256=256. 查缺补漏 第三篇 7 9.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展 开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线 围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开 1 图内的概率是 ,则此长方体的体积是________. 4 本 讲 栏 目 开 关 查缺补漏 第三篇 7 解析 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知, 本 讲 栏 目 开 关 2+4h 1 质点落在长方体的平面展开图内的概率 P= = , ?2h+2??2h+1? 4 1 解得 h=3 或 h=-2(舍去), 故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案 3 查缺补漏 第三篇 7 10.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有 1 000 辆汽 车通过该站, 现在随机抽取其中的 200 辆汽车进行车速分 析,分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,则估 计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于 90 km/h 的 本 讲 栏 目 开 关 约有________辆.(注:分析时车速均取整数) 查缺补漏 第三篇 7 解析 由图可知,车速大于等于 90 km/h 的车辆未标出频率, 而小于 90 km/h 的都标出了,故考虑对立事件. 本 讲 栏 目 开 关 由题图知车速小于 90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01+ 0.02+0.04)× 10=0.7, 所以车速不小于 90 km/h 的汽车总数的频率之和为 1-0.7=0.3. 因此在这一时段内通过该站的车速不小于 90 km/h 的汽车有 1 000×0.3=300(辆). 答案 300

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